Олексій Неїжпапа народився в 1975 році в м. Севастополі (АР Крим). У 1997-му закінчив Севастопольський військово-морський інститут, у 2008 році — Севастопольський військово-морський інститут (оперативно-тактичний рівень) та Національний університет оборони України у 2015-му.
У 2015-2019 роках був заступником командувача Військово-Морських сил з бойової підготовки — начальником управління бойової підготовки Командування Військово-Морських сил ЗСУ.
Із квітня 2020 року Олексій Неїжпапа обіймав посаду заступника командувача Військово-Морських сил Збройних сил України. Брав участь в антитерористичній операції на території Донецької та Луганської областей.
Офіцерську службу від лейтенанта до капітана першого рангу включно він пройшов на кораблях ВМС ЗСУ (на посадах від командира батареї фрегата до командира бригади надводних кораблів). Двічі достроково отримував військові звання на посадах командира корабля та командира бригади.
Неодноразово здійснював керівництво українсько-американськими навчаннями “Сі Бриз” від української сторони.
Нагадаємо, до призначення Неїжпапи командувачем Військово-морських сил України був Ігор Воронченко.